Band structure of the Ruelle spectrum of contact Anosov flows

Frédéric Faure, Tsujii Masato

研究成果: ジャーナルへの寄稿記事

23 引用 (Scopus)

抄録

If X is a contact Anosov vector field on a smooth compact manifold M and V∈C(M), it is known that the differential operator A=-X+V has some discrete spectrum called Ruelle-Pollicott resonances in specific Sobolev spaces. We show that for |Imz|→∞ the eigenvalues of A are restricted to vertical bands and in the gaps between the bands, the resolvent of A is bounded uniformly with respect to |Im(z)|. In each isolated band, the density of eigenvalues is given by the Weyl law. In the first band, most of the eigenvalues concentrate to the vertical line Re(z)=*D〉M, the space average of the function D(x)=V(x)-12divX|Eu(x) where Eu is the unstable distribution. This band spectrum gives an asymptotic expansion for dynamical correlation functions. Si X est un champ de vecteur d'Anosov de contact sur une variété compacte lisse M et si V∈C(M), il est connu que l'opérateur différentiel A=-X+V a un spectre discret appelé résonances de Ruelle-Pollicott dans des espaces de Sobolev spécifiques. On montre que, pour |Imz|→∞, les valeurs propres de A sont incluses dans des bandes verticales et que, dans les gaps entre ces bandes, la résolvante de A est bornée uniformément par rapport à |Im(z)|. Dans chaque bande isolée, la densité des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl. Dans la première bande, la plupart des valeurs propres se concentrent sur la ligne verticale Re(z)=*D〉M, qui est la moyenne spatiale de la fonction D(x)=V(x)-12divX|Eu(x), où Eu est la distribution instable. Ce spectre en bande permet d'exprimer le comportement asymptotique des fonctions de corrélations dynamiques.

元の言語英語
ページ(範囲)385-391
ページ数7
ジャーナルComptes Rendus Mathematique
351
発行部数9-10
DOI
出版物ステータス出版済み - 5 1 2013

Fingerprint

Anosov Flow
Band Structure
Contact
Eigenvalue
Vertical
Discrete Spectrum
Smooth Manifold
Resolvent
Compact Manifold
Sobolev Spaces
Asymptotic Expansion
Differential operator
Correlation Function
Vector Field
Unstable
Line

All Science Journal Classification (ASJC) codes

  • Mathematics(all)

これを引用

Band structure of the Ruelle spectrum of contact Anosov flows. / Faure, Frédéric; Masato, Tsujii.

:: Comptes Rendus Mathematique, 巻 351, 番号 9-10, 01.05.2013, p. 385-391.

研究成果: ジャーナルへの寄稿記事

Faure, Frédéric ; Masato, Tsujii. / Band structure of the Ruelle spectrum of contact Anosov flows. :: Comptes Rendus Mathematique. 2013 ; 巻 351, 番号 9-10. pp. 385-391.
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TY - JOUR

T1 - Band structure of the Ruelle spectrum of contact Anosov flows

AU - Faure, Frédéric

AU - Masato, Tsujii

PY - 2013/5/1

Y1 - 2013/5/1

N2 - If X is a contact Anosov vector field on a smooth compact manifold M and V∈C∞(M), it is known that the differential operator A=-X+V has some discrete spectrum called Ruelle-Pollicott resonances in specific Sobolev spaces. We show that for |Imz|→∞ the eigenvalues of A are restricted to vertical bands and in the gaps between the bands, the resolvent of A is bounded uniformly with respect to |Im(z)|. In each isolated band, the density of eigenvalues is given by the Weyl law. In the first band, most of the eigenvalues concentrate to the vertical line Re(z)=*D〉M, the space average of the function D(x)=V(x)-12divX|Eu(x) where Eu is the unstable distribution. This band spectrum gives an asymptotic expansion for dynamical correlation functions. Si X est un champ de vecteur d'Anosov de contact sur une variété compacte lisse M et si V∈C∞(M), il est connu que l'opérateur différentiel A=-X+V a un spectre discret appelé résonances de Ruelle-Pollicott dans des espaces de Sobolev spécifiques. On montre que, pour |Imz|→∞, les valeurs propres de A sont incluses dans des bandes verticales et que, dans les gaps entre ces bandes, la résolvante de A est bornée uniformément par rapport à |Im(z)|. Dans chaque bande isolée, la densité des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl. Dans la première bande, la plupart des valeurs propres se concentrent sur la ligne verticale Re(z)=*D〉M, qui est la moyenne spatiale de la fonction D(x)=V(x)-12divX|Eu(x), où Eu est la distribution instable. Ce spectre en bande permet d'exprimer le comportement asymptotique des fonctions de corrélations dynamiques.

AB - If X is a contact Anosov vector field on a smooth compact manifold M and V∈C∞(M), it is known that the differential operator A=-X+V has some discrete spectrum called Ruelle-Pollicott resonances in specific Sobolev spaces. We show that for |Imz|→∞ the eigenvalues of A are restricted to vertical bands and in the gaps between the bands, the resolvent of A is bounded uniformly with respect to |Im(z)|. In each isolated band, the density of eigenvalues is given by the Weyl law. In the first band, most of the eigenvalues concentrate to the vertical line Re(z)=*D〉M, the space average of the function D(x)=V(x)-12divX|Eu(x) where Eu is the unstable distribution. This band spectrum gives an asymptotic expansion for dynamical correlation functions. Si X est un champ de vecteur d'Anosov de contact sur une variété compacte lisse M et si V∈C∞(M), il est connu que l'opérateur différentiel A=-X+V a un spectre discret appelé résonances de Ruelle-Pollicott dans des espaces de Sobolev spécifiques. On montre que, pour |Imz|→∞, les valeurs propres de A sont incluses dans des bandes verticales et que, dans les gaps entre ces bandes, la résolvante de A est bornée uniformément par rapport à |Im(z)|. Dans chaque bande isolée, la densité des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl. Dans la première bande, la plupart des valeurs propres se concentrent sur la ligne verticale Re(z)=*D〉M, qui est la moyenne spatiale de la fonction D(x)=V(x)-12divX|Eu(x), où Eu est la distribution instable. Ce spectre en bande permet d'exprimer le comportement asymptotique des fonctions de corrélations dynamiques.

UR - http://www.scopus.com/inward/record.url?scp=84879889841&partnerID=8YFLogxK

UR - http://www.scopus.com/inward/citedby.url?scp=84879889841&partnerID=8YFLogxK

U2 - 10.1016/j.crma.2013.04.022

DO - 10.1016/j.crma.2013.04.022

M3 - Article

VL - 351

SP - 385

EP - 391

JO - Comptes Rendus Mathematique

JF - Comptes Rendus Mathematique

SN - 1631-073X

IS - 9-10

ER -